Фамилия Чеивериков — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает исходное слово. На первый взгляд кажется, что перед нами вариант фамилии Чивериков или Чивириков, но буква «е» после «ч» указывает на другую основу. Скорее всего, перед нами не опечатка и не диалектное произношение, а фамилия, образованная от прозвища Чеивер — так в старых русских говорах могли называть человека, который «чеиверит», то есть суетится, делает что-то быстро и не всегда аккуратно, мельтешит. Глагол «чеиверить» (или «чиверить») фиксируется в диалектной лексике со значением «шевелиться, возиться, делать мелкую работу».

Суффикс -ик- в основе (Чеиверик) указывает на лицо по действию: «тот, кто чеиверит». А конечный -ов — типичный русский патронимический суффикс, который закрепил прозвище за потомками. То есть изначально Чеивериков — «сын Чеиверика». Такая модель (прозвище на -ик + -ов) встречается нечасто, она характерна для северных и центральных областей России, где прозвища часто имели уменьшительно-пренебрежительный оттенок.

Возможна и более простая версия: основа могла быть заимствована из тюркских языков, где «чеивер» или «чейвер» означало что-то вроде «ловкий, проворный». Но в русских фамилиях тюркские корни чаще дают формы на -ев (Чеиверев), а не на -иков. Поэтому версия с диалектным глаголом выглядит убедительнее.

География фамилии узкая: Чеивериковы встречаются в основном в Вологодской и Архангельской областях, что подтверждает связь с севернорусской диалектной лексикой. В XIX веке носители фамилии числились в основном среди государственных крестьян и мещан — никакого боярского или дворянского следа здесь нет. Это фамилия человека, которого в деревне прозвали за манеру постоянно что-то делать, суетиться, не сидеть на месте.