Фамилия Чельникова — женская форма фамилии Чельников. Её основа, скорее всего, связана с названием посуды: «чельник» (или «чальник») — в русских говорах так называли большой ковш, черпак, иногда деревянную чашу. В некоторых диалектах слово могло обозначать и корыто для замеса теста. Таким образом, Чельников — это человек, имевший отношение к изготовлению или продаже такой утвари, либо получивший прозвище по характеру (например, большой любитель поесть, «черпающий» за двоих).

Словообразовательная модель здесь простая: суффикс -ов- указывает на принадлежность или свойство (чей? — Чельников). Мужская фамилия образована от прозвища Чельник, которое, в свою очередь, произошло от названия предмета. Суффикс -ов — один из самых распространённых в русских фамилиях, типичный для центральных и северных регионов России.

Есть и менее вероятная гипотеза, что в основе лежит географическое название: например, речка Чельна или село Челны (известное по городу Набережные Челны). Но в этом случае фамилия звучала бы как Челнов или Челнинский. Форма Чельников с мягким «л» указывает именно на «чельник» — предмет.

Фамилия не принадлежит к числу распространённых. Она встречается в основном в Поволжье и на Урале, где диалектное слово «чельник» было в ходу. Сословно, скорее всего, это крестьянская или ремесленная фамилия: предок мог быть бондарем, плотником или просто человеком, за которым закрепилось такое прозвище. Дворянских корней у неё нет.

Интересная деталь: в старых документах встречается написание «Чальников» (через «а»), что отражает акающее произношение. Это ещё одно подтверждение, что фамилия бытовала в устной речи до того, как её записали в метриках.