Фамилия Чевекова — женская форма, а её основа — мужская фамилия Чевеков. Разбирать логичнее именно мужской вариант, потому что именно он хранит ключ к происхождению.

В центре фамилии — корень «чевек». В русских говорах слово «чевек» или «чёвек» имело несколько значений, но все они связаны с бытовой, непарадной стороной жизни. Чаще всего «чевеком» называли чурбан, обрубок дерева, короткое полено. Прозвище Чевек могли дать человеку плотного, коренастого телосложения — «как чурка», или, напротив, нерасторопному, тяжелому на подъём. В некоторых диалектах «чевек» означал также «затычка», «пробка» — например, деревянная затычка для бочки. Отсюда прозвище могло перейти на бондаря или на человека, который вечно «затыкает» собой что-то, мешается.

Модель образования типична для центра России: прозвище + патронимический суффикс -ов. Чевеков — буквально «сын Чевека». Суффикс -ов указывает на то, что фамилия сложилась в среде, где преобладала великорусская ойкономическая традиция, скорее всего, не на севере и не в южных степях, а в полосе между ними.

География фамилии сегодня довольно размыта, но исторические записи фиксируют Чевековых преимущественно в Воронежской, Тамбовской и Рязанской губерниях. Это зона позднего закрепощения крестьян, где фамилии часто давали не по отцу, а по деду или по устойчивому дворовому прозвищу. Вероятно, первый Чевеков был крестьянином или ремесленником, чья внешность или характер дали повод для прозвища, которое затем закрепилось за его потомками.

Есть и менее вероятная, но лингвистически возможная версия: связь с тюркским корнем «чевек» (çevik) — «ловкий», «проворный». В таком случае фамилия могла возникнуть на южных рубежах, в среде служилых людей, контактировавших с татарами. Но для этой гипотезы слишком мало подтверждений в документах, а диалектное русское объяснение выглядит проще и надёжнее.

Так что, скорее всего, предки современных Чевековых — люди из крестьянской или ремесленной среды, получившие фамилию по бытовому прозвищу, которое описывало либо фигуру, либо характер, либо занятие.