Фамилия Чевидаев — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а, скорее всего, прозвище, связанное с диалектным словом. Чтобы понять её происхождение, стоит отталкиваться не от корня, а от суффикса: -аев. Это вариант фамильного суффикса -ев, который присоединялся к основам, заканчивающимся на согласный. В данном случае основа — «Чевидай». Такая модель (основа на -ай + -ев) встречается в фамилиях, образованных от прозвищ (сравните: Болтай — Болтаев, Лентяй — Лентяев).

Самая правдоподобная версия связывает фамилию с диалектным словом «чевыдать» или «чивыдать», которое в некоторых русских говорах (особенно северных и сибирских) означало «смотреть», «высматривать», «подглядывать». Человек, получивший прозвище Чевидай, мог быть зевакой, любопытным или, наоборот, тем, кто зорко следит за порядком, например, сторожевым или пастухом. В таком случае фамилия — чисто прозвищная, характеризующая поведение.

Менее вероятная версия связывает фамилию с тюркским корнем, например, с именем Чевит (арабское «чевит» — «ртуть», «живой, как ртуть»). Однако превращение «Чевит» в «Чевидай» через добавление русского суффикса -ай маловероятно для русского ономастикона: обычно имена адаптировались напрямую (Чевитов, Чевитев). Форма на -ай указывает именно на глагольное происхождение, на прозвище по действию.

Встречаемость фамилии крайне низкая. Основной ареал — центральные и северные области России (Вологодская, Костромская, Ивановская области). Это косвенно подтверждает диалектную севернорусскую версию. Носители фамилии, скорее всего, происходят из крестьянской или мещанской среды, где прозвища давались метко и закреплялись в документах при переписях XVIII–XIX веков. Сословных привилегий фамилия не несёт: в дворянских родословных книгах Чевидаевы не значатся.

Итак, главное: Чевидаев — это «сын того, кого прозвали Чевидаем», то есть «сын зеваки» или «сын дозорного». Фамилия сохранила в себе живой оттенок старинного говора, который сегодня почти утрачен.