Фамилия Чевидаева — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все прочие версии происхождения. Разберём её по косточкам.

Основа фамилии — прозвище или некалендарное имя Чевидай. Слово «чевидай» (или «чевыдай») в русских говорах, особенно в рязанских и тамбовских, означало «ротозей», «зевака», «разиня». Человек, который постоянно глазеет по сторонам, замешкается или упускает момент, получал такую нелестную кличку. Второй корень здесь — глагол «чевить» (глядеть, зевать), который в диалектах звучал как «чевыдать» или «чевидать». Суффикс -ай типичен для прозвищ, образованных от глагольной основы: ломай, стреляй, хватай. Чевидай — тот, кто «чевидает», то есть смотрит, разинув рот.

Модель фамилии проста: прозвище Чевидай + русский патронимический (отчество) суффикс -ев. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или й. Форма Чевидаева — женский вариант, мужская — Чевидаев. Фамилия закрепилась как отчество по отцу: «чей сын?» — Чевидаев.

Есть и другая, более прозаическая, но не менее правдоподобная версия: фамилия могла возникнуть от тюркского корня. В тюркских языках «чеви» или «чевик» — «быстрый», «проворный». В сочетании с тюркским же аффиксом -дай («подобный», «как») имя Чевидай могло означать «быстрый, как ветер» или «подобный проворному». Однако для русской фамилии Чевидаева эта версия слабее: во-первых, тюркские имена с таким корнем в Поволжье не фиксируются как массовые, а во-вторых, диалектное русское слово «чевидай» хорошо документировано в словарях русских говоров. Поэтому версия с прозвищем «ротозей» — основная.

Географически фамилия Чевидаева — типичная для южнорусских областей, особенно для Рязанской, Тамбовской и Пензенской губерний. Именно там фиксируется и само слово «чевидай», и фамилия в метрических книгах XIX века. Носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или однодворцами — потомками служилых людей по прибору, которые жили на южных рубежах Московского государства. Никаких дворянских родов с такой фамилией не известно.

Итог простой: предок Чевидаевых получил прозвище Чевидай за привычку глазеть по сторонам или, в более мягком смысле, за медлительность. Фамилия образована стандартным русским патронимическим способом и прочно привязана к южнорусскому диалектному ареалу.