Фамилия Чейдаков — одна из тех, где основа затемнена, а суффикс сразу указывает на модель образования. Перед нами типичная русская фамилия на -ов, то есть притяжательное прилагательное, отвечавшее на вопрос «чей?»: Чейдаков — сын Чейдака. Значит, в основе лежит прозвище или некалендарное имя Чейдак.

Что такое «чейдак»? В этом слове слышится тюркский след. Наиболее вероятная версия — связь с тюркским корнем чайда- / чейда-*, который в разных диалектах означал «кричать, шуметь, скандалить» или «болтать без умолку». Прозвище Чейдак могли дать человеку крикливому, шумному либо говорливому. В тюркских языках аффикс -ак образует имена деятелей, так что «чейдак» — буквально «крикун», «горлопан». Это прозвище, скорее всего, пришло в русскую среду через татарских или башкирских переселенцев, которых в XVI–XVII веках немало записывали в служилые люди и казаки.

Менее убедительная, но встречающаяся версия выводит фамилию от диалектного русского слова «чейдак» — якобы так называли вид повозки или саней. Однако эта гипотеза слабая: ни в одном серьёзном словаре русских говоров такого слова нет, а в тюркских языках «чайдак» действительно фиксируется как «шум, крик». Поэтому прозвищное происхождение от «крикуна» выглядит правдоподобнее.

Фамилия редкая. По переписям и справочникам XIX–XX веков её носители встречаются в основном в Поволжье и на Южном Урале — в зоне активных русско-тюркских контактов. Это косвенно подтверждает тюркскую основу: именно в этих краях прозвища с тюркскими корнями легко становились русскими фамилиями.

Если ваши предки носили фамилию Чейдаков, скорее всего, они происходили из среды крестьян или служилых людей, живших в смешанных этнических областях. Прозвище, лёгшее в основу, не несло оскорбительного оттенка — скорее, это была бытовая характеристика человека, которого в деревне знали как говорливого или шумного соседа.