Фамилия Чичелимов — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, не имеет однозначного «словарного» значения, но зато чётко угадывается по модели образования. Это типичная «вотчинная» фамилия на -ов, образованная от прозвища или имени Чичелим (или Чичеля). Суффикс -им- здесь нестандартный: в русских фамилиях чаще встречаются суффиксы принадлежности -ин- (от основ на -а/-я) или -ов- (от основ на согласный). Форма -имов (Чичелим → Чичелимов) — архаичная, она указывает, что прозвище Чичелим или Чичеля склонялось по типу существительных мужского рода с окончанием -а, но в основе имело мягкий согласный. Такие модели встречаются в северных и центральных говорах, где «Чичелим» могло быть уменьшительным от Чичель или Чича.

Самая правдоподобная версия связывает корень с диалектным глаголом чичелить — «медлить, мешкать, копаться». В тверских и псковских говорах чичеля — это человек, который делает всё неспешно, с ленцой, или же тот, кто постоянно суетится без толку (значение могло колебаться). Менее вероятна связь с чич — в некоторых диалектах так называли птицу (чижа или щегла), но тогда форма была бы Чижов или Щеглов, а не Чичелимов. Есть ещё версия, что прозвище связано с татарским чич — «волосы» или «челка», но для фамилии с суффиксом -им- это звучит натянуто: скорее всего, корень исконно русский, звукоподражательный или описательный.

Географически фамилия привязана к центральным и северо-западным областям России. В документах XIX века Чичелимовы встречаются в Тверской, Ярославской и Вологодской губерниях — как раз там, где бытовало слово «чичелить». Сословно это были в основном государственные крестьяне и мещане. Никаких дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — она осталась в низовых слоях, что подтверждает её прозвищное, а не «княжеское» происхождение.

Интересная деталь: в некоторых переписях фамилию писали как Чичелимов через «а» — Чачалимов, что говорит о характерном для северных говоров «яканье» (произношении «чячяля»). Это ещё одно подтверждение того, что основа была живой, разговорной, а не книжной. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из среды крестьян или ремесленников Верхневолжья, и его прозвище могло означать либо «медлительного человека», либо (по контрасту) «суетливого непоседу».