Фамилия Чикинская — яркий пример «географической» модели, когда прозвище или фамилия отца превращались в указание на местность. Её основа — Чикин, мужская фамилия или прозвище, а суффикс -ск- указывает на принадлежность к чему-то: селу, усадьбе или роду. В русской ономастике фамилии на -ский/-ской долгое время были привилегией дворянства и духовенства, но с XIX века распространились и среди крестьян, особенно после отмены крепостного права, когда целые деревни получали фамилии по названиям поместий.

Корень фамилии — Чик — многозначен. Он мог произойти от диалектного слова «чик», означавшего птицу (чибис, чирок) или, в южных говорах, «маленького, худощавого человека». Вполне вероятно и тюркское влияние: «чик» в тюркских языках — суффикс принадлежности или часть имени (например, Чик — вариант имени Чингиз). В любом случае, первичное прозвище Чика или Чикин дали человеку по какой-то характерной черте — внешности, поведению или ремеслу. Не исключено, что Чикинскими называли жителей деревни Чикино или Чикинка — такие топонимы встречаются в Тверской, Псковской и Рязанской областях.

Суффикс -ск- в фамилии Чикинская — женская форма, что редкость для современных справочников. Обычно такие фамилии закреплялись за женщинами при переписях, особенно в семьях священников, где жёны и дочери получали фамилию от названия прихода (например, Чикинская — из села Чикино). Однако в быту фамилия могла быть и мужской: Чикинский, а Чикинская — это просто вариант для женщины, который со временем закрепился как единая форма.

Что касается социального контекста: в XIX веке фамилии на -ский часто носили выходцы из духовного сословия, но Чикинская могла возникнуть и позже, в советское время, когда крестьянам массово давали фамилии по названиям деревень. Если ваши предки — из центральной России, особенно из районов с плотным расселением (Тверская, Смоленская губернии), то Чикинская почти наверняка топонимическая. Если же корни ведут на юг или в Поволжье, стоит проверить тюркские основы — например, фамилия Чикин у татар и башкир встречается как производная от имени Чик (уменьшительное от Чингиз или Чикмэт).

Итог: Чикинская — фамилия-указатель, рассказывающая о месте или человеке, от которого пошёл род. Она не древняя, но и не редкая — в современной России её носители живут в основном в европейской части, с заметным скоплением в Московской и Тверской областях.