Фамилия Чивирева — женская форма, а мужская — Чивирев. В её основе лежит прозвище или нецерковное имя Чивирь. Слово «чивирь» в русских говорах имеет несколько значений, и чтобы понять, какое из них стало источником фамилии, нужно присмотреться к географии и контексту.

Самая вероятная версия отсылает к диалектному глаголу «чивирить» — «щебетать, чирикать» (о птицах) или, в переносном смысле, «говорить быстро, без умолку, щебетать». В этом случае Чивирем могли прозвать бойкого, разговорчивого человека, «птичьего» по характеру. Такие прозвища по поведению — частый источник русских фамилий, сравните с Щебетаевыми, Чириковыми.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с «чиверга» (или «чивирга»), так в некоторых областях называли мелкую рыбёшку, малька, или же нечто мелкое, незначительное. Тогда прозвище могло получить человек невысокого роста или занимавший невысокое положение. Третья, совсем редкая гипотеза — от тюркского корня, где «чивир» мог означать «вертлявый, проворный», но для фамилии Чивирева эта версия менее обоснована, так как фамилия распространена в центральных и северных регионах России, где тюркское влияние на прозвища было слабее.

Суффикс -ев указывает на притяжательную модель: Чивирев — сын Чивиря. Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская. Встречается она нечасто, но стабильно фиксируется в Вологодской, Костромской и Архангельской областях, что косвенно подтверждает её севернорусское, диалектное происхождение. Написание через «и» в первом слоге устойчиво, вариантов с «е» («Чеверев») практически нет — это отличает её от похожих по звучанию фамилий.