Фамилия Чивкунова — женская форма, а мужская — Чивкунов. В её основе лежит прозвище или нецерковное имя Чивкун, которое по одной из версий восходит к диалектному глаголу «чивкать». В русских говорах это слово означало «пищать», «чирикать», «издавать тонкий звук» — так могли назвать человека с высоким голосом, говорливого или суетливого. В пермских и вятских говорах «чивкуном» называли также птенца или маленькую птицу, что усиливало прозвищный оттенок.

Модель образования типична для русских фамилий: основа на -ун (как Болтун, Говорун, Свистун) плюс патронимический суффикс -ов, указывающий на принадлежность: Чивкунов буквально — «сын Чивкуна». Суффикс -ун в прозвищах часто придавал оттенок постоянного действия или свойства, поэтому Чивкун — это не тот, кто один раз пискнул, а тот, кто постоянно «чивкает», то есть либо болтлив, либо голосист.

Встречается фамилия преимущественно в центральных и северных областях России, особенно в бывших владимирских и костромских землях, где диалект «чивкать» был в ходу. Встречаются варианты написания с одной «н» (Чивунов) — это могло возникнуть из-за упрощения в произношении или при записи фамилии малограмотным писарем.

Сословной привязки у фамилии нет: Чивкуновы могли быть и крестьянами, и мещанами. В документах XVIII–XIX веков эта фамилия попадается среди государственных крестьян и однодворцев. Второй, менее вероятный вариант происхождения — от тюркского имени Чивкун (возможно, от «чив» — граница, рубеж), но для русской фамилии эта версия спорна, так как суффикс -ов здесь ведет себя как типично славянский, а не заимствованный.