Фамилия Чверенко — украинская по происхождению, что выдает характерный суффиксальный элемент -енко. В украинской ономастике формант -енко исторически выполнял функцию патронимического показателя, то есть буквально означал «сын» или «потомок» такого-то человека. Таким образом, Чверенко — это «сын Чвери» или «человек из рода Чверей». Основа фамилии — прозвище Чвера. Это слово имеет несколько возможных значений, и чтобы понять, какое из них вероятнее, нужно заглянуть в диалектную лексику.

В украинских говорах «чвера» или «чвірка» может означать «щепка», «заноза», а в переносном смысле — «худой, щуплый человек». Есть и другая версия: слово «чверити» означает «смотреть исподлобья», «хмуриться», так что прозвище Чвера могли дать человеку с угрюмым, недоверчивым взглядом. Встречается и значение «мелкий, незначительный», что тоже укладывается в логику прозвищ по внешности или характеру. Наиболее правдоподобной выглядит связь с «чвера» как «щепка, заноза»: на Украине и в южнорусских областях такие прозвища давали либо тощему человеку, либо мастеру по дереву, либо просто неуживчивому, колкому человеку.

Географически фамилия Чверенко тяготеет к центральным и восточным областям Украины — прежде всего к Полтавщине, Черкащине и Сумщине. Это классический ареал распространения фамилий на -енко, которые массово формировались в казацкой среде в XVI–XVII веках. В списках запорожских казаков и реестрах Войска Запорожского встречаются фамилии с корнем «Чвер» — например, Чвертка или Чвир, что подтверждает давнюю традицию такого именования.

Редкость фамилии Чверенко по сравнению с более распространенными Чвирко или Чвертко объясняется тем, что прозвищная основа «чвера» менее употребительна и более локальна. В современной России фамилия встречается рассеянно, но чаще всего — в регионах, граничащих с Украиной, или в местах переселения украинских крестьян в XIX–XX веках (Кубань, Дон, Ставрополье). Носители фамилии Чверенко, скорее всего, потомки украинских казаков или крестьян, которым прозвище дали за внешность или характер, и это прозвище закрепилось как родовое имя.