Фамилия Чюмак — редкий случай, когда написание «подсказывает» происхождение. Буква «ю» в корне выдает южнорусские или украинские говоры: в них «чю» звучало так же, как литературное «чу». Поэтому Чюмак — это скорее всего фонетический вариант фамилии Чумак, записанный так, как слышали переписчики или носители местного диалекта.

Основа — прозвище «чумак». В XVII–XIX веках чумаками называли торговцев-возчиков, которые на волах везли соль, рыбу и другие товары с юга (из Крыма, с Дона) в центральные и северные области. Промысел был тяжелым и опасным: чумаки ходили обозами по несколько недель, ночевали в степи, рисковали попасть к разбойникам. Прозвище Чумак получал либо человек, занимавшийся таким извозом, либо кто-то, напоминавший чумака внешностью или характером — например, любитель соленого, странствующий торговец или просто жилистый, выносливый человек.

Суффикс -ак (Чумак → Чюмак) типичен для украинских и южнорусских фамилий: он указывает на лицо по роду занятий или характерному признаку (ср. Рыбак, Гончак, Дергач). Фамилия образовалась без дополнительного оформления — просто прозвище перешло в наследственное имя. В русском языке такие фамилии на -ак не склоняются по падежам, если принадлежат мужчине, и остаются неизменными у женщин.

Географически фамилия Чюмак (и её вариант Чумак) чаще всего встречается в Слобожанщине (Харьковская, Сумская области), на Кубани и в Ростовской области — то есть в тех краях, где чумацкие пути проходили особенно активно. Встречается она и у потомков украинских переселенцев на Дальнем Востоке и в Сибири.

Обратите внимание: написание через «ю» — не ошибка, а историческая особенность. В документах XIX века можно найти обе формы: Чюмак и Чумак. Если ваши предки писали фамилию именно так, это может указывать на конкретную местность, где в речи сохранялся старый южнорусский выговор.