Фамилия Дагазиев — редкая и, судя по морфологии, тюркская по происхождению, хотя её корень неочевиден и требует разбора в нескольких направлениях.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ев, который в русских фамилиях чаще всего указывает на патроним (сын такого-то) или принадлежность к роду. Основа — Дагази (или Дагаз). Суффикс -и в тюркских языках может быть частью имени или прозвища, а также указывать на принадлежность к чему-либо (например, «дагалы» — «горец» в тюркских языках, но здесь окончание другое).

Самый вероятный корень — тюркское слово «даг» (гора). В таком случае «Дагази» могло означать «горный», «живущий в горах» или «горец». Суффикс -зи/-зы в некоторых тюркских диалектах (например, в кумыкском или ногайском) может быть вариантом аффикса принадлежности или превращаться в часть личного имени. Вторая версия: основа восходит к арабскому имени «Даг» (или «Дага») с добавлением тюркского суффикса. Третья, более гипотетическая версия — связь с персидским «даг» (пятно, клеймо), но такое прозвище вряд ли стало основой для фамилии в исламской среде.

Географически фамилия Дагазиев тяготеет к Северному Кавказу, особенно к Дагестану (где много горных народов) и Чечне. Встречается также в среде кавказских тюрков (кумыков, ногайцев). В русских дореволюционных переписях она почти не фиксируется, что указывает на её позднее оформление — скорее всего, в советское время, когда фамилии закреплялись за представителями горских народов.

Социальный контекст: предки носителя фамилии, вероятно, были горцами, возможно, скотоводами или земледельцами, жившими в удалённых аулах. Фамилия могла быть дана по месту жительства (от названия горы или урочища) или по прозвищу, закрепившемуся за родом.

Спорных версий много, но самая правдоподобная — «горная» основа, связывающая фамилию с ландшафтом Кавказа.