Фамилия Дагаев — это типичная русская фамилия на -ев, которая указывает на принадлежность к роду человека по прозвищу Дагай. Формально она отвечает на вопрос «чей?» — то есть сын или потомок Дагая. Но вот что скрывалось за этим прозвищем — вопрос более сложный, и единого мнения у исследователей нет.

Самая распространённая версия связывает прозвище Дагай с тюркскими языками. Корень dag в тюркском многозначен: это и «гора», и «клеймо, тавро». Если отталкиваться от первого значения, Дагаем могли назвать горца — или просто рослого, массивного человека, которого сравнивали с горой. Если же брать второе значение, прозвище могло относиться к человеку, который клеймил скот (таврил лошадей или быков), либо к тому, кто сам носил на лице след от ожога или клейма — шрам, родимое пятно.

Есть и кавказская версия, которая выводит фамилию из чеченского языка. Слово «дага» означает «топорище, рукоятка топора». В этом случае Дагай — плотник или мастер по дереву, человек, который делал топорища. Но у того же чеченского «дага» есть и другие значения — «вышивать», «делать складки», а также «гореть» и «бояться». Если прозвище пошло от глагола «вышивать», предок мог быть портным или вышивальщиком. Если же от «бояться» — прозвище давали осторожному, пугливому человеку.

Какая из версий правдоподобнее? Тюркская выглядит более вероятной хотя бы потому, что модель образования прозвищ с суффиксом -ай от тюркских корней хорошо известна в русской ономастике (ср. фамилии Булгаев, Алтаев, Каратаев). Чеченская версия возможна, но требует узкой региональной привязки — фамилия должна была возникнуть в среде, где чеченский язык был повседневным.

Так или иначе, фамилия Дагаев недвусмысленно указывает на нерусские корни прозвища, но оформлена она по русской патронимической модели. Носитель фамилии — потомок человека, которого окружающие выделили какой-то яркой чертой: внешностью, занятием или характером.