Фамилия Дагаева имеет очень интересную историю происхождения и относится к распространенному типу древнейших восточных фамилий, ведущих свое начало от тюркского прозвища Дагай. По одной из версий, оно было образовано при помощи суффикса -ай от тюркского слова dag, имевшего два значения: «гора» и «клеймо, тавро». Вероятно, Дагаем могли называть горца, либо высокого, большого, как гора, человека. Кроме того, подобное прозвище мог получить человек, клеймивший животных, либо имевший ожог на лице. Согласно другой версии, в основе этой фамилии лежит чеченское слово «дага» - «топорище, рукоятка топора». Следовательно, прозвище Дагай мог получить плотник. В чеченском языке существует и многозначный глагол «дага» - «вышивать; делать складки», «гореть», «бояться». В этом случае прозвище Дагай могло указывать на род занятий человека, либо на его опасливый характер.