Фамилия Дагаев образована от прозвища Дагай. По одной из версий, оно было образовано при помощи суффикса -ай от тюркского слова dag, имевшего два значения: «гора» и «клеймо, тавро». Вероятно, Дагаем могли называть горца, либо высокого, большого, как гора, человека. Кроме того, подобное прозвище мог получить человек, клеймивший животных, либо имевший ожог на лице. Согласно другой версии, в основе этой фамилии лежит чеченское слово «дага» - «топорище, рукоятка топора». Следовательно, прозвище Дагай мог получить плотник. В чеченском языке существует и многозначный глагол «дага» - «вышивать; делать складки», «гореть», «бояться». В этом случае прозвище Дагай могло указывать на род занятий человека, либо на его опасливый характер. Таким образом, потомок человека, которого звали Дагай, со временем получил фамилию Дагаев. Безусловно, фамилия Дагаев представляет собой замечательный памятник кавказской культуры.