Фамилия Дагамук — один из тех редких случаев, когда о происхождении можно говорить с большей уверенностью, чем обычно. Её выдает суффикс. Окончание -ук (или -юк) — характерный признак западноукраинских, особенно волынских и подольских, фамилий. Этот суффикс в украинской антропонимии часто выполнял роль уменьшительно-ласкательного или указывал на сына, ученика, подмастерья: то есть «маленький» или «потомок» того, кто назван в корне.

Корень «Дагам» не имеет очевидных славянских параллелей. Скорее всего, он восходит к тюркскому или кавказскому прозвищу. В тюркских языках «даг» означает гора, а «даглы» — горец. Вариант «Дагам» мог быть личным именем или прозвищем, которое дали человеку, пришедшему с гор, либо обладателю крутого нрава. Есть и другая версия: в некоторых диалектах турецкого языка «dagamuk» близко к слову со значением «упрямый» или «непокладистый». В таком случае фамилия отражает не географию, а характер.

Таким образом, носитель фамилии Дагамук — это, скорее всего, потомок человека по прозвищу Дагам, который был выходцем с Кавказа или из Крыма, а затем его дети, попав в украинскую языковую среду (Волынь, Подолье, Хмельнитчина), получили типичный местный суффикс -ук. Фамилия могла возникнуть в XVI-XVII веках, когда на украинские земли активно переселялись служилые люди, казаки и крестьяне из южных степей. Сословной принадлежности у неё нет: Дагамуками могли быть и казаки, и крестьяне, и мещане — всё зависело от того, на какой земле осел основатель рода.