Фамилия Дамзаев — редкий случай, когда основа почти наверняка не славянская, а тюркская или кавказская, и это видно по её звучанию. В отличие от привычных русских фамилий на -ов, образованных от имён вроде Иван или Петр, здесь корень «Дамза» не имеет очевидных параллелей в древнерусском языке. Скорее всего, в основе лежит личное имя или прозвище Дамза, которое бытовало у народов Северного Кавказа или в тюркоязычной среде.

Словообразовательная модель проста: к основе Дамза прибавили типичный русский суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Дамзаев). Так оформляли фамилии у многих нерусских народов, когда их приписывали к казачеству или включали в состав Российской империи. Суффикс -ев, а не -ов, стоит после мягкого согласного «з», что грамматически верно.

Что могло означать имя Дамза? Здесь есть несколько гипотез. В осетинском языке слово «дамз» или близкие к нему формы могут означать «спор», «тяжба» или «ссора». Тогда прозвище Дамза мог получить человек неуживчивый, склонный к сутяжничеству. В тюркских языках (кумыкском, ногайском, карачаево-балкарском) возможна связь с корнем «дам» — «дух», «дыхание», или с именем Дамза как вариантом арабского Замзам (по названию священного источника). Но более правдоподобна версия, что Дамза — это сокращённая форма от какого-то полного имени, например, Дамзар или Адамза, где «за» — суффикс уменьшительности.

Географически фамилия Дамзаев встречается в основном на Северном Кавказе — в Чечне, Ингушетии, Дагестане, а также среди терских казаков. Это указывает на то, что предки носителей фамилии, скорее всего, были горцами или казаками, получившими фамилию во время переписи или при поступлении на военную службу. Сословно это могли быть свободные крестьяне, уздени (у горцев) или казаки, но не дворяне — фамилия не фиксируется в родословных книгах Российской империи.

Интересная деталь: в некоторых документах XIX века фамилию могли записывать как Дамзаевъ, а в советское время встречается вариант Дамзоев — с заменой «а» на «о» под влиянием местного произношения. Эта вариативность как раз и выдаёт нерусское происхождение корня, который адаптировался к русской письменности.