Фамилия Дамаев чаще всего встречается у чеченцев, и её происхождение напрямую связано с чеченским языком. Основная и наиболее правдоподобная версия — прозвище Дама, которое легло в основу фамилии. В чеченском языке слово «дама» означает «мука». Следовательно, прозвище могло быть профессиональным: так могли назвать мельника, торговца мукой или пекаря. Фамилия образована по русской модели с суффиксом -ев, который присоединяли к основам, оканчивающимся на гласный: Дама → Дамаев, то есть «сын Дамы» или «потомок Дамы».

Существует и альтернативная, менее вероятная версия. Согласно ей, фамилия восходит к имени Дамай, которое связывают с арабским словом «дам» — «кровь». Эта гипотеза слабее, так как имя с таким значением маловероятно для человека, и чеченская языковая среда даёт более прямое и бытовое объяснение.

О реальных носителях фамилии известно из документов чеченского происхождения. В источниках упоминаются Ваха Дамаев (1925 г.р.), Далга Дамаев (1937 г.р.) и Идрис Дамаев (1903 г.р.). Эти записи подтверждают, что фамилия бытовала в Чечне как минимум с начала XX века. По модели образования фамилия Дамаев близка к другим чеченским фамилиям, образованным от прозвищ по роду занятий (сравните: Алхаев — от «алха» (работа), Хаджиев — от паломнического титула).