Фамилия Дамаж — редкая и неочевидная для русского уха. Если не знать её происхождения, легко заподозрить иностранные корни: звучит она по-французски, напоминая слово «damage» в английском или «dommage» во французском. Но в русской ономастике такое созвучие — случайность.

Скорее всего, перед нами фамилия, образованная от прозвища или мирского имени. Основа «Дамаж» могла возникнуть из диалектного слова или искажённого произношения. Одна из версий связывает её с глаголом «дамажить» — в некоторых говорах так называли «мять, комкать, давить». Человек, который мял лён или кожу, мог получить прозвище Дамага или Дамаж. Суффикс в фамилии нулевой, что для русских фамилий нетипично: обычно мы видим -ов, -ин, -ский. Отсутствие суффикса указывает либо на очень позднее закрепление фамилии в форме прозвища, либо на то, что она пришла из другого языка и была русифицирована без добавления типового окончания.

Есть и другая гипотеза: фамилия могла быть записана как Дамаж вместо Дамажа или Дамажев — из-за ошибки писаря или особенностей местного говора (аканье, цоканье). В южных и западных регионах бывшей Российской империи фамилии без суффиксов встречаются чаще, особенно у выходцев из польских или белорусских земель. Там «Дамаж» могло быть вариантом фамилии Домаж или Домажа — от польского «domagać się» (требовать, настаивать). В этом случае прозвище давали настойчивому, упрямому человеку.

География фамилии сегодня очень узкая. Дамаж не входит в списки распространённых русских фамилий, не встречается в крупных городах массово. Основные носители, судя по открытым данным, живут на юге России и в Беларуси. Это подтверждает версию о западнорусском или польском следе.

В словарях русских фамилий (Унбегаун, Никонов) фамилия Дамаж не упоминается — она слишком редкая. Поэтому при реконструкции её значения приходится опираться на косвенные данные: диалектную лексику, соседние фамилии (Дамагин, Дамажев) и региональные особенности словообразования. Самый правдоподобный ответ: предок носителя фамилии был либо ремесленником, работавшим с давлением и мятьём (кожевник, льнопрядильщик), либо человеком с настойчивым, «домогающимся» характером.