Фамилия Дармопук — редкая и выразительная, её происхождение лежит в прозвищном слое русской ономастики. В основе лежит сложение двух слов: «дармо» (сокращение от «даром», то есть бесплатно, без пользы) и «пук» (от глагола «пукать» — издавать звук, или в диалектном значении «пук» — пучок, связка, например, сена или соломы). Самая прямая и правдоподобная версия — прозвище Дармопук могли дать человеку, который «даром пукает», то есть говорит пустое, болтает без толку, попусту тратит слова. В крестьянской среде такое прозвище было бы метким и нелестным, закреплялось за тем, кого считали пустым болтуном.

Менее вероятная, но возможная версия отсылает к диалектному «пук» — пучок. Тогда Дармопук — это «дармовой пук», то есть собранный бесплатно пучок (например, сена или травы). Прозвище могло закрепиться за человеком, который жил случайными заработками, подбирал то, что плохо лежит, или за тем, кто не держал своего хозяйства, а кормился чужими остатками. Однако фонетически и по смыслу первая версия (от глагола «пукать») выглядит более органичной для русского прозвища: она звонкая, насмешливая, типичная для бытовой характеристики.

Фамилия образована по стандартной для восточнославянской модели: прозвище перешло в фамилию без дополнительного суффикса, то есть способом «нулевой суффиксации». Такое оформление характерно для украинских и южнорусских фамилий, где прозвище не переделывали на -ов или -ин, а оставляли в исходном виде: Дармопук, а не Дармопуков. Это указывает на возможное происхождение носителя из украинских или южнорусских губерний (Курская, Воронежская, Полтавская, Черниговская области), где подобные бессуффиксные фамилии встречаются чаще.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В современных базах данных и телефонных справочниках Дармопук фиксируется единично — в основном на западе России и в восточной Украине. Фамилия не попала в дворянские родословные книги и не связана с каким-либо известным родом; её носители почти наверняка были из крестьян или однодворцев. С точки зрения социального контекста, такая фамилия — яркий пример «мирского» прозвища, которое давали не при крещении, а в быту, и оно закреплялось за потомками как родовое имя, часто неудобное для самих носителей.