Фамилия Донме — редкая и неочевидная для русского уха. Если не брать в расчёт случайные поздние заимствования, её основа — тюркская, и образована она по модели, которая в русском языке почти не встречается. Поэтому первое, что бросается в глаза: фамилия не прошла через стандартную русскую суффиксацию (-ов, -ин, -ский). Она сохранилась в «голом» виде, без патронимического оформления, что указывает либо на очень позднюю фиксацию (конец XIX — начало XX века), либо на иноязычную среду бытования.

Разбираем корень. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском, ногайском) слово «дон» или «донме» имеет несколько значений. Самое вероятное исходное — «дөнмә» (тат.) или «дөнме» (каз.), что переводится как «отвёртка» или «поворотный механизм». Однако в прозвищах и фамилиях это слово могло означать не инструмент, а человека — «упрямый», «тот, кого не переубедить» (от глагола «дөнү» — поворачиваться, отказываться, менять решение). Вторая версия, менее распространённая: «донме» как «обращённый» (в религиозном смысле, например, перешедший в другую веру). Но для фамилии прозвищное «упрямец» или «стойкий» правдоподобнее.

Суффикс «-ме» в тюркских языках — это формант имени действия или орудия. То есть «донме» буквально — «поворот» или «то, чем поворачивают». Как фамилия, она могла закрепиться за мастером, который делал отвёртки или работал с поворотными деталями, но скорее — за человеком с соответствующим характером.

Географически фамилия Донме встречается в Татарстане, Башкортостане, реже у казахов и ногайцев. В русских документах она практически не фиксируется, что объяснимо: русская традиция требовала суффикса (Донмев, Донмеев), а без него фамилия осталась в своей тюркской форме. Если вы встретили Донме в центральной России, это почти наверняка потомок крещёных татар или переселенцев из Поволжья, которые не русифицировали фамилию при записи.

Сравните с однокоренными: Донмеев (с русским суффиксом -ев) встречается чаще, но Донме — более архаичный, «чистый» вариант. В ономастических справочниках эта фамилия не описана, поэтому любая версия остаётся гипотезой. Но связка «тюркский корень + прозвище по действию или характеру» — самая надёжная.