Фамилия Дьордяй — один из тех редких случаев, когда в основе лежит не славянское имя, а венгерское. Она образована от личного имени Дьёрдь — венгерского аналога русского Георгий или Юрий. Суффикс -ай в русских фамилиях встречается нечасто, и это сразу выдает нерусское происхождение основы. В венгерском языке суффикс -i часто указывает на принадлежность к месту или роду, а в русской адаптации он мог превратиться в -ай. Таким образом, Дьордяй — это не «сын Дьёрдя» (как было бы с суффиксом -ович), а скорее «человек из рода Дьёрдя» или «относящийся к Дьёрдю».

Имя Дьёрдь пришло в Венгрию вместе с христианством и стало одним из самых популярных — достаточно вспомнить национального святого Георгия. В русских документах фамилия Дьордяй могла появиться у крещеных венгров, которые переселялись на территорию Российской империи, или у потомков тех, кто служил в русской армии. В XVIII-XIX веках венгерские военнопленные и наемники нередко оседали в южных губерниях, и их фамилии записывали на слух, сохраняя непривычное для русского уха звучание.

Вероятнее всего, фамилия Дьордяй — не русская по происхождению, а венгерская, адаптированная русским языком. География ее бытования сегодня узкая: носители встречаются в основном в Закарпатье и на юге России, где исторически были контакты с венгерским населением. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из среды венгерских переселенцев или крестьян, чье имя было записано в метрических книгах уже в русифицированной форме.