Фамилия Досуговы происходит от прозвища Досуг, которое давали предку. Слово «досуг» в русском языке имело два противоположных значения, и это породило две версии происхождения фамилии. Согласно словарю В. И. Даля, досуг — это «свободное, незанятое время, гулянки, гулячая пора, простор от дела». В народе говорили: «Работе время, а досугу час». Если исходить из этого, Досугом могли прозвать человека, который любил отдыхать и веселиться.

Но есть и другой смысл. Прилагательное «досужий» означало «умеющий, способный к делу, ловкий, искусный, хороший мастер своего дела или мастер на все руки». В этом случае прозвище Досуг давали умельцу, которого ценили за сноровку и талант. Какая из версий верна — сказать сложно: прозвище могло закрепиться и за ленивым, и за трудолюбивым, в зависимости от характера конкретного человека.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель образования: так называли по отцу. Досугов буквально значит «сын Досуга» или «из семьи Досуга». Фамилия фиксируется в разных регионах, но особенно часто встречается в Поволжье и центральной России — в документах XVII–XVIII веков Досуговы упоминаются среди крестьян и посадских людей.

Сравните с однокоренными фамилиями: Досужий, Досужев. Они образованы от того же корня, но с разными суффиксами, что говорит о широкой распространённости прозвища. В старину слово «досуг» активно входило в пословицы: «Был бы друг, будет и досуг» или «А когда досуг то будет? А когда нас не будет». Потомок человека с таким прозвищем со временем получил фамилию Досугов, которая закрепилась и дошла до нас как памятник народной речи и быта.