Фамилия Досягаев — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не ремесло и не географическое название, а, скорее всего, прозвище, связанное с действием. Её ядро — глагол «досягать», то есть «доставать, дотягиваться до чего-то». В старину так могли назвать человека высокого роста, длиннорукого или того, кто обладал упорством и добивался своего любой ценой. В говорах слово «досяга» означало ещё и «способность, умение» — отсюда могло пойти прозвище для умельца, мастера, который «до всего досягает».

Словообразовательная модель прозрачна: основа «досяг-» плюс суффикс -аев. Это вариант фамилий на -ов (Досягов), но с безударным окончанием, которое на письме закрепилось как -аев. Такая замена обычна для фамилий, образованных от глагольных основ: ср. Булгаев (от булгать — мутить), Каратаев (от каратать — бить). Суффикс -ай в прозвищах (Досягай) указывал на деятеля, а потом фамильный суффикс «привязал» его к роду.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южным областям России, встречается в Воронежской, Тамбовской, Рязанской губерниях. В дореволюционных переписях Досягаевы записаны в основном как государственные крестьяне, то есть лично свободные, но приписанные к общине. Дворянских корней у фамилии нет — это однозначно крестьянская или мещанская среда.

Спорных версий здесь немного. Иногда основу ошибочно связывают с тюркским «дося» (друг, товарищ), но это натяжка: глагольное происхождение гораздо естественнее для русской антропонимии, к тому же у фамилии нет характерных тюркских суффиксов. Другие однокоренные фамилии — Досягов, Досягин, Дотягаев — образованы от того же корня, но с разными суффиксами, что подтверждает живую народную основу, а не заимствование.