Фамилия Досягов — редкий пример, где разбор спотыкается уже на первом шаге: что такое «Досяг»? В русском языке нет слова с таким корнем, которое бы объясняло прозвище или имя. При этом фамилия образована по стандартной патронимической модели — от мужского прозвища или имени Досяг с помощью суффикса -ов, указывающего на принадлежность («чей-то сын»). Значит, ключ к происхождению — в основе.

Самая вероятная версия — фонетическая адаптация. В южных и западных говорах русского языка, а также в украинском и белорусском, «досяг» — вариант слова «досягнуть» (достигнуть, добраться). В украинском «досяг» означает «достижение», а в польском dosięgać — «досягать». Прозвище Досяг могли дать человеку высокому или длиннорукому, который «доставал» до того, до чего другие не могли. Или же метафорически — настойчивому, добивавшемуся своего. В этом случае фамилия родственна более распространенным Достигаевым, Досягову, но в иной огласовке.

Вторая версия, менее вероятная, но не исключенная: искажение при записи фамилии Дощагов или Дощаков. В старых документах букву «щ» нередко писали небрежно, и при переписке она могла превратиться в «ся». Основа «дощак» (от «доска») — прозвище плотника, торговца досками или человека с худощавой фигурой. Однако для этой гипотезы нет прямых подтверждений, и она остается догадкой.

Географически фамилия Досягов почти не встречается в современных справочниках, что говорит о ее крайней редкости. Возможно, она бытовала в южнорусских областях (Курская, Воронежская губернии), где влияние украинского языка на говоры было сильным. В советское время фамилия могла быть утрачена или сменить написание. Сословно — почти наверняка крестьянская или мещанская, поскольку фамилии на -ов с основой-прозвищем типичны для непривилегированных слоев.

Таким образом, Досягов, скорее всего, потомок человека, которого прозвали за рост или упорство. Точного ответа без архивных записей не дать, но направление поиска ясно: юг России и говоры с украинским субстратом.