Фамилия Дожидаева происходит от мужского имени или прозвища Дожидай. Это редкая для современного уха основа — глагол в повелительном наклонении, приказ или просьба. Такие «повелительные» фамилии нечасты, но встречаются: вспомним Терпигорев, Ждимир, Найденов. В данном случае Дожидай — форма от «дожидаться», то есть «жди», «подожди». Вероятно, так в быту называли ребёнка, которого долго ждали, или человека, который вечно опаздывал, заставлял себя ждать. Имя-оберег тоже не исключение: в крестьянской среде могли наречь Дожидаем младенца, чтобы он, вопреки суевериям, «дождался» взросления и не умер в младенчестве.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: Дожидаев — сын Дожидая. Женская форма Дожидаева — это либо жена, либо дочь того же Дожидая, но в современном обиходе фамилия закрепилась как неизменяемая по полу. По модели образования фамилия типична для центральных и северных губерний России, где повелительные прозвища давали чаще, чем на юге. Встречаемость её невелика: в дореволюционных переписях Дожидаевы отмечены в Вологодской и Костромской губерниях, что косвенно подтверждает северное происхождение.

В отличие от фамилий на -ин (от основ на -а/-я), Дожидаев сохраняет конечный -й основы: Дожидай → Дожидаев. Это важная деталь: если бы прозвище звучало как Дожида, фамилия была бы Дожидин. Сравните с фамилиями Богданов (от Богдан) и Богдашин (от Богдаша). Таким образом, исходная форма — именно Дожидай, а не сокращённый вариант.

Спорных версий у этой фамилии почти нет. Иногда её ошибочно связывают с глаголом «дожидаться» в значении «засиживаться», но это лишь бытовое осмысление. В ономастических словарях (например, в работе Б. Унбегауна «Русские фамилии») подобные образования описываются как типичные для прозвищ-императивов, без дополнительных загадок.

Если ваши предки носили фамилию Дожидаева, скорее всего, они были крестьянами или посадскими людьми из северной России. Прозвище могло закрепиться за родом, где первопредок был либо долгожданным ребёнком, либо человеком медлительным — второе правдоподобнее, так как прозвища часто давали по характеру.