Фамилия Драздетская — редкая и необычная по звучанию. Её основа, скорее всего, связана с глаголом «драздить» (дразнить, раздражать). В старину прозвище Дразда или Драздет могли дать человеку с острым языком, любителю подкалывать окружающих, или, напротив, тому, кого легко было вывести из себя. Суффикс -ск- указывает на то, что фамилия образована по модели польской или западнорусской шляхты: от названия местности или от прозвища с добавлением типичного окончания прилагательного. Полная форма «Драздетская» — женский вариант, мужская фамилия, соответственно, звучала бы как Драздетский.

Интересна морфология: в основе лежит не просто корень «дразн-», а более редкая форма «драздет-». Это может быть либо вариант старого прозвища (Драздет — тот, кто дразнит), либо искажённое «дразнитель» в диалектном произношении. Не исключено, что фамилия восходит к топониму — например, к названию хутора или урочища Дразды, Драздетово, откуда предки выехали. Такие «географические» фамилии на -ский типичны для дворянских и однодворческих родов центральной России и Беларуси.

Сословная принадлежность носителей фамилии неочевидна, но суффикс -ск- в сочетании с непривычной основой часто встречается у потомков польской шляхты, переселившейся в восточные губернии после разделов Речи Посполитой. В русских переписных книгах такая фамилия не зафиксирована в массовом порядке — она остаётся штучной, что говорит о её локальном бытовании. Возможно, первоначальное написание было иным: Драздецкий или Драздетцкий, и со временем закрепился современный вариант.

Корень «драз-» роднит фамилию с однокоренными Дразнилов, Драздов, Драздев, но Драздетская стоит особняком из-за редкого форманта. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из небольшой группы людей, связанных либо с конкретной местностью, либо с ярким родовым прозвищем, которое не стёрлось за века.