Фамилия Дражница — редкий пример, когда прозвище стало фамилией почти без изменений, сохранив свою первоначальную звуковую форму. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий на -ов, -ин или -ский, она застыла в виде существительного женского рода. Это сразу указывает на её возможное происхождение: либо перед нами прозвище, данное женщине, либо, что вероятнее, фамилия образована от названия местности или объекта, который в народе называли «дражница».

Корень «драж-» восходит к глаголу «драть» или «дразнить». В русских говорах «дражница» могла обозначать сварливую, придирчивую женщину — ту, что «дразнится», то есть задирает, провоцирует ссору. Однако есть и другая, более конкретная версия. В некоторых регионах «дражней» или «дражницей» называли особую снасть для ловли рыбы, а также приспособление для обработки льна или трепания шерсти. Если предок носил прозвище Дражница, он мог владеть таким орудием или быть известным в округе рыбаком, использующим именно этот тип сети.

Менее очевидный, но возможный путь — топонимический. В славянских языках встречаются названия урочищ и ручьёв с корнем «драж-», например, польское «drażnica» (колючка, терновник) или чешское «drážnice» (железнодорожная станция, но это позднее значение). Фамилия могла закрепиться за выходцем из деревни, стоявшей у речки Дражницы или на поляне, поросшей колючим кустарником. В этом случае Дражница — это «человек с Дражницы», то есть указание на место жительства, а не на характер.

Суффикс -ица типичен для русских прозвищ и фамилий, образованных без патронимического суффикса. Такая модель встречается у старообрядцев и в северных говорах, где фамилии часто давали по прозвищу главы семьи в неизменной форме (ср. Гуслица, Куница, Синица). В официальных документах XIX века фамилию могли записать как Дражницын (по аналогии с Куницын), но носители, вероятно, сохранили исходный вариант.

О точной географии фамилии известно мало. Она не входит в списки самых распространённых, но единичные упоминания встречаются в архивных записях бывших Могилёвской и Витебской губерний, а также в казачьих станицах на Дону. Это косвенно подтверждает версию о прозвище: в среде казаков и крестьян меткие и нелестные прозвища закреплялись за родом особенно прочно.