Фамилия Дриати — редкий случай в русском ономастиконе. Её основа и суффикс сразу выдают нерусское происхождение: окончание -и (а не -ов, -ин или -ский) характерно для фамилий, пришедших из итальянского, румынского, молдавского или греческого языков. В русской среде такие фамилии обычно получали выходцы с Балкан, из Причерноморья или итальянские мастера, работавшие в России (архитекторы, художники, музыканты).

Самая вероятная версия — итальянские корни. В итальянском языке существует фамилия Driati (или Driato), образованная от имени Dria — сокращённой формы от Andrea (Андрей). Суффикс -ati указывает на принадлежность к роду или месту, то есть буквально «из рода Дриа» или «дриатовский». По другой версии, основа связана с греческим словом «дриос» (δρυς — дуб), но для фамилии это менее вероятно: прозвища по деревьям в греческой антропонимии редки, а переход в «Дриати» потребовал бы дополнительных ступеней.

В России фамилия могла появиться двумя путями. Первый — через греческих купцов или моряков, осевших в Одессе, Таганроге или Керчи в XVIII–XIX веках. Второй — через итальянских зодчих и инженеров, работавших при дворе или на строительстве городов (например, в Санкт-Петербурге). В любом случае Дриати — это фамилия, которая не была массовой и не дала множества ответвлений в крестьянской среде. Поиск по современным базам показывает единичные случаи в России и на Украине, а также в Италии (области Венето, Ломбардия). Если вы встретили эту фамилию в русских документах, скорее всего, предки были людьми городского или ремесленного сословия, возможно, с юга страны.