Фамилия Дробачевская — женская форма от Дробачевский, и её разбор стоит начать не с корня, а с характерного окончания. Суффикс «-ский» (в женском роде «-ская») указывает на дворянское или шляхетское происхождение: так образовывали фамилии владельцы поместий по названию имения. Однако в XIX веке эту модель переняли и выходцы из духовенства, и крестьяне, получавшие фамилии при переписях. Поэтому Дробачевская могла принадлежать как роду, владевшему деревней Дробачево (или похожим топонимом), так и семье, где предок носил прозвище Дробач.

Основа фамилии — «дробач» или «дроба». В русских говорах «дроба» — это дробь, мелкие кусочки, а также сито для просеивания муки. «Дробачом» могли прозвать человека, который дробил что-то: камень, зерно, руду. В южных и западных регионах (Украина, Белоруссия) слово «дробач» означало мельника или человека, работающего на крупорушке. Есть и другая версия: «дроба» — диалектное название мелкого дождя или снежной крупы, так что прозвище мог получить суетливый, «мелкий» человек.

Самая редкая, но правдоподобная гипотеза связывает фамилию с глаголом «дробить» в значении «часто и мелко ступать» — так называли плясуна, отбивающего дробь ногами. В пользу этой версии говорит то, что фамилия Дробачевский встречается в основном на западе современной России, в Смоленской и Брянской областях, где были сильны традиции народного танца.

В написании фамилии стоит обратить внимание на букву «о» в корне. Встречается вариант Дробичевский (через «и»), но это уже другая ветвь — от «дробить» в прямом смысле. Дробачевская же сохраняет древнее «а», которое в некоторых говорах закрепилось как показатель акающего произношения.

Итог: перед нами фамилия-отчество, образованная от прозвища по роду занятий (мельник, дробильщик) или по характерной черте поведения. Суффикс «-ский» не обязательно говорит о знатности — к концу XIX века такую форму мог принять любой крестьянин, записавшийся в мещане.