Фамилия Дрощинская — это женская форма фамилии Дрощинский, и её происхождение напрямую связано с географическим названием. Чаще всего такие фамилии на -ский/-цкий получали дворяне или шляхта по названию своего родового поместья, но в XIX веке эта модель распространилась и среди духовенства, мещан и крестьян, которые могли взять фамилию по месту рождения или приписки.

Корень фамилии — «Дрощ-» — скорее всего, восходит к названию населённого пункта. В Восточной Европе, особенно на территории современной Беларуси, Украины и Польши, существовали и существуют деревни с похожими названиями: Дрощин, Дрощино, Дрощинка. Топоним в свою очередь мог произойти от прозвища или имени Дроща — возможно, от древнерусского слова «дрочить» (нежить, баловать, а в некоторых диалектах — «дрочиться» значило важничать, гордиться). Впрочем, не исключена и связь с диалектным «дрощ» — так в некоторых говорах называли дрожжи или что-то разбухшее, рыхлое, но это менее вероятно для основы фамилии.

Суффикс -ин- в основе (Дрощин-) указывает на принадлежность: «дрощинский» — тот, кто родом из Дрощина или владел имением Дрощин. Окончание -ая в женском варианте — чисто грамматическое, оно не несёт дополнительного смысла, кроме указания на пол носительницы.

Интересно, что фамилия Дрощинская встречается заметно реже, чем мужской вариант, и географически тяготеет к западным регионам бывшей Российской империи: Волынская, Гродненская губернии, а также к украинскому Полесью. Встречаются единичные записи в метрических книгах православных и католических приходов XIX века — это указывает на то, что носители могли быть как православными, так и униатами или католиками. Сословно среди Дрощинских попадались и мелкопоместные дворяне (шляхта), и крестьяне, что типично для фамилий этого типа на западе империи.

Если искать однокоренные фамилии, то наиболее близки Дрощин, Дрощенко, Дрощаков. Но Дрощинская стоит особняком: её «польский» суффикс -ский выдает в предках человека, чья семья либо имела гербовую традицию, либо жила в зоне польско-литовского культурного влияния, где такие фамилии давали каждому, кто владел землёй или просто жил в деревне с таким названием.