Фамилия Дрощев — одна из тех, где корень угадывается не сразу, а суффикс указывает на вполне конкретную модель происхождения. Она образована по стандартной для русских фамилий схеме: основа плюс суффикс -ев, который присоединяли к основам на мягкий согласный или шипящий. В данном случае основа — Дрощ-.

Самая прямая и правдоподобная версия связывает фамилию с прозвищем Дрощ. В русских говорах слово «дрощ» или «дроща» имело несколько значений, но все они сводились к одному: мелкий, частый, дрожащий. «Дрощью» называли мелкий дождик, изморось, а также дрожь, озноб. Прозвище Дрощ мог получить человек небольшого роста, щуплого телосложения, либо тот, кто постоянно зяб или суетился — «дрожал» от холода или волнения. Глагол «дрочить» в некоторых диалектах означал «дрожать, трястись», что укрепляет эту этимологию.

Менее вероятна, но не исключена связь с профессиональным прозвищем. В псковских и тверских говорах «дрочить» могло означать «бить, колотить», а «дроч» — нечто вроде песта или колотушки. Тогда Дрощ — человек, занятый в каком-то ремесле, связанном с дроблением или толчением, например, на мельнице или в крупорушке. Однако эта версия слабее: прозвища от орудий труда обычно образовывались иначе (Толкач, Молот).

Фамилия Дрощев — редкая. Встречается она преимущественно в центральных и северо-западных областях России, особенно в Тверской, Псковской и Новгородской землях. Именно там диалектная лексика со словом «дрощ» была наиболее употребительна. В дореволюционных переписях носители фамилии фиксировались в основном среди крестьян и мещан — сословий, где прозвища давались по внешним признакам или поведению, а не по роду занятий.

Таким образом, предок современных Дрощевых, скорее всего, получил прозвище за свой облик или характер — возможно, был невысок, худощав или отличался нервной, торопливой походкой. В быту его и называли Дрощ, а его дети и внуки стали Дрощевыми.