Фамилия Дышеков — редкий случай в русской ономастике, где адыгское (черкесское) происхождение почти не вызывает споров. В отличие от большинства фамилий на -ов, образованных от славянских прозвищ, корень «Дыш» ведет прямо в адыго-абхазскую языковую среду. Основа «дышэ» (или «дыщэ») на кабардино-черкесском языке означает «золото», «дорогой», «ценный». Соответственно, исходное личное имя или прозвище Дыш (Дыше) могло даваться человеку как ласкательное или указывать на его богатство и значимость.

Суффикс -ов в данном случае не славянский по происхождению, а результат русификации фамилии при интеграции адыгских родов в российскую имперскую систему в XIX веке. Изначально адыгские фамилии не имели патронимических суффиксов, а оканчивались, к примеру, на -уэ (в кабардинском) или -къо (в адыгейском). При записи в метрики и ревизские сказки к основе Дыше- добавили стандартный русский патронимический суффикс -ов, получив Дышеков. Форма «Дышеков» (через «е») встречается в источниках наравне с «Дышековым» и, возможно, является более ранней или диалектной.

Географически фамилия Дышеков привязана к Кабардино-Балкарии и Карачаево-Черкесии, реже — к Адыгее. Если ваши предки носили эту фамилию, то с высокой вероятностью они были черкесами (адыгами), возможно, из кабардинского субэтноса. В дореволюционной России адыгские дворяне (уорки) часто имели фамилии с таким суффиксом, но Дышеков могла быть и фамилией свободных крестьян-тфокотлей, так как основа «золотой» не обязательно указывала на знатность — скорее на личное качество или прозвище первого носителя.

Встречается также версия, связывающая фамилию с тюркским корнем «дыш» (зуб), но она значительно слабее: в тюркских языках прозвища от «зуба» обычно образуются иначе, и география фамилии (Северный Кавказ) однозначно указывает на адыгский след. Таким образом, Дышеков — это русифицированная адыгская фамилия, означающая в переводе «золотой» или «драгоценный», а её носители — потомки черкесов, чей предок носил соответствующее имя или прозвище.