Фамилия Дышекова — редкий пример, где географическая привязка оказывается надёжнее, чем прозрачная этимология. В русском языке основа «дыш-» не образует очевидных прозвищ или имён, поэтому искать корни стоит не в словарях древнерусских слов, а в карте Северного Кавказа.

Наиболее вероятное объяснение — адыгское (черкесское) происхождение. У адыгов есть фамилия Дышеков (Дыщэкъу), в основе которой лежит слово «дыщэ» — «золото». В адыгских языках фамилии нередко образовывались от названий металлов, драгоценностей или качеств: «золотой» могло означать богатого, знатного человека, мастера-ювелира или просто служить личным именем-пожеланием. Суффикс -ов/-ев в данном случае — русское окончание, которое добавили при оформлении фамилии в документах XIX–XX веков, когда горцев массово записывали в метрики и ревизские сказки. Женская форма Дышекова, соответственно, образована по стандартной русской модели от мужской Дышеков.

Менее убедительная версия связывает фамилию с тюркским корнем «дыш» — «зуб», но для такой гипотезы нет ни географических кластеров, ни подтверждающих прозвищ в соседних культурах. Фамилия почти не встречается в центральной России и на Урале, зато стабильно фиксируется в Кабардино-Балкарии, Карачаево-Черкесии и среди черкесской диаспоры за рубежом. Это сужает поиск: предки носительницы фамилии Дышекова, скорее всего, были черкесскими узденями (дворянами) или свободными общинниками, а не крепостными крестьянами — в адыгском обществе фамилии на «золотую» основу нередко указывали на привилегированное положение рода.

Если отбросить адыгскую версию, остаётся лишь гадать о случайном совпадении с русским диалектным «дышать» или «дышло» — но такие параллели не выдерживают критики: ни один известный словарь русских фамилий не фиксирует основу «Дыш-» как продуктивную. Так что для Дышековой ответ один: это адыгская фамилия со значением «золотой», «золотых дел мастер» или «сын золотого человека», адаптированная русским суффиксом.