Фамилия Джемига — редкая и не сразу читаемая для русского уха. Её происхождение напрямую связано с украинским или польским языком, и в основе лежит не имя, а прозвище, образованное от глагола «джеміґати» — в украинских говорах это значит «ныть, канючить, приставать с просьбами». Человек, которого так прозвали, вероятно, отличался назойливостью или привычкой постоянно жаловаться.

Слово «джеміґа» — это и есть существительное, означающее «нытик, попрошайка». Суффикс -иг- (или -іг-) здесь не типичен для русской модели, зато характерен для западноукраинских и польских прозвищных основ. Сравните с польским «dżemiga» — то же значение. Фамилия, таким образом, образована напрямую от прозвища без дополнительного суффикса принадлежности: не Джемигов, а именно Джемига. Это указывает на то, что фамилия закрепилась в форме именительного падежа, что часто встречается в украинской ономастике (ср. Коваль, Швець, а не Ковалёв).

Географически фамилия тяготеет к западу Украины, к Галиции или Волыни, а также к юго-восточным регионам Польши. В России она практически не встречается. Носители фамилии — потомки тех, кто в XIX веке получил или сохранил это прозвище как наследственное имя. Социальный слой — скорее всего, крестьяне или мещане, поскольку прозвища такого типа давались в быту, а не в дворянской среде.

Интересная деталь: у фамилии есть вариант написания через «ґ» — Джеміґа, что подчёркивает её западное происхождение. В русской транскрипции буква «г» читается как взрывной звук, что близко к оригиналу. Если вы встретите написание «Джемига» с мягким знаком или с двумя «м» — это, скорее всего, ошибка переписчика, так как основа короткая и устоявшаяся. Фамилия не имеет отношения к еврейским или тюркским корням, несмотря на экзотическое звучание.