Прозвище Дзись образовано от украинского слова «дзис» — овода, того самого двукрылого насекомого, чьи личинки паразитируют на животных. В народе такое прозвище давали не из зоологического интереса, а с иронией: так называли навязчивых, приставучих людей, от которых трудно отвязаться. Это типичная модель украинских фамилий, где прозвище превратилось в фамилию без добавления суффиксов — просто закрепилось в форме «Дзись» как родовое имя.

Менее вероятна версия, что в основе лежит не прозвище, а мирское имя Дзись. Такие имена, образованные от названий животных или насекомых, в дохристианской традиции действительно встречались, но в данном случае прозвищное происхождение выглядит убедительнее: овод — слишком специфичная и нелестная характеристика, чтобы стать личным именем.

Сама фамилия Дзись — редкая. Её отличает отсутствие типичных для восточнославянских фамилий суффиксов (-ов, -ин, -енко). Она застыла в форме чистого прозвища, что характерно для украинской ономастики, особенно западных регионов. Встречается она преимущественно на западе Украины, в меньшей степени — в Беларуси и Польше, куда могла попасть вместе с переселенцами.