Фамилия Дзябура — редкий случай, когда прозвище почти не изменилось, перейдя в наследственное имя. В её основе лежит украинское слово «дзьоб» — клюв. Человек с таким прозвищем, скорее всего, выделялся носом характерной, птичьей формы: длинным, загнутым или острым. Такие прозвища по внешним приметам — один из древнейших пластов русских и украинских фамилий, их давали метко и без обид, просто как отличительный знак.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: корень «дзяб-» (фонетический вариант «дзьоб-», где «ё» перешло в «я» под влиянием акающего произношения) и суффикс «-ур(а)». Суффикс -ур(а) в восточнославянских фамилиях встречается нечасто. Он придаёт прозвищу экспрессивный, иногда пренебрежительный или шутливый оттенок (сравните: «михлюра», «чичура»). В случае с Дзябурой суффикс скорее усиливает характерный признак, закрепляя за человеком яркую внешнюю деталь.

География фамилии выдаёт её украинско-белорусские корни. Дзябуры чаще всего встречаются на западе Украины, в Полесье и в южных районах Беларуси — там, где в говорах сохранилось твёрдое «дзь» и где слово «дзьоб» было обиходным. В России фамилия редкая и, как правило, связана с переселенцами из этих регионов.

В ономастике встречаются параллели: фамилия Дзюба (от того же «дзьоб», но с другим суффиксом) гораздо распространённее, а вот Дзябура осталась локальной и малочисленной. Это не результат ошибки в документах — перед нами самостоятельная модель прозвища, которая не превратилась в массовую фамилию на -ов или -енко. Версия, что Дзябура могла произойти от личного имени или названия ремесла, маловероятна: ни в старых писцовых книгах, ни в словарях древнерусских имён такого корня не зафиксировано.

Таким образом, предок носителя фамилии Дзябура — человек, которого в его окружении знали по носу-клюву. Прозвище дали не в насмешку, а для точности: в небольшом селе или хуторе такая примета надёжно выделяла его среди других.