Фамилия Дзябко — украинская по происхождению, образованная от прозвища с помощью уменьшительного суффикса -к-, который в украинской традиции часто оформлял личные именования до того, как они закрепились как фамильные. Модель простая: прозвище Дзяб(а) + -к(о). Такая структура типична для восточноукраинских фамилий, где -ко выполняет примерно ту же роль, что русский суффикс -ов/-ев, но без указания на принадлежность отцу.

Что означало само прозвище — вопрос с несколькими ответами. Самая вероятная версия связывает Дзябко с украинским глаголом «зябнути» — мёрзнуть, зябнуть. Сочетание «дз» на месте ожидаемого «з» — следствие диалектного влияния белорусского или польского языка, где такое смягчение и озвончение встречается часто. В таком случае прозвище давали зябкому человеку, который постоянно мёрз или легко простужался. Это бытовая, живая характеристика — не ремесло и не внешность, а особенность самочувствия, которую окружающие замечали и закрепляли в прозвище.

Другая версия — от диалектного украинского «дзябканистий» (пёстрый, пятнистый). Тогда прозвище указывало на внешность: веснушки, следы оспы или просто пёструю одежду. В этом смысле Дзябко — прямой аналог русской фамилии Рябов. Версия правдоподобна, но менее распространена, так как корень «дзяб-» в значении «пёстрый» встречается реже, чем «зяб-» в значении «холод».

Менее убедительно выглядит связь с белорусским «дзюба» (клюв) — тогда прозвище могло относиться к человеку с большим носом или хваткому. Но фонетический переход «дзю» → «дзя» нехарактерен, и эта гипотеза слабее двух первых.

Иногда фамилию путают с однокоренной Дзябка, но здесь важно различие: Дзябко — это украинская форма с суффиксом -ко, а Дзябка — белорусская или западноукраинская, где -ка выступает как уменьшительный суффикс. Для Дзябка возможна и версия от польского dziabać (рубить, колоть) — такое прозвище мог получить лесоруб или дровосек. Но для формы Дзябко эта версия маловероятна: польское влияние сильнее сказалось бы на окончании, оставив -а, а не -о.

Итог: фамилия Дзябко в подавляющем большинстве случаев восходит к прозвищу Зябко (зябнущий человек), изменившему начальный звук под белорусским или польским влиянием. Второй по вероятности вариант — прозвище по пёстрой внешности. Остальные объяснения возможны, но не имеют такой опоры в языке и географии.