Фамилия Дзяпко — редкий случай, когда географический ключ лежит почти на поверхности. Её носители в основном встречаются в Беларуси и на западе Украины, реже — в приграничных областях России. Если взглянуть на карту распространения, сразу заметен ареал, где фамилия не единична: Гродненская и Брестская области. Это подсказывает, что корень слова — из западнорусских или украинских говоров, а не из литературного языка.

В основе фамилии лежит прозвище Дзяпка. В белорусских и украинских диалектах «дзяпкать» значит «болтать», «пустословить», «тараторить». Человек, получивший такое прозвище, мог быть говорливым, не в меру словоохотливым или просто любителем поболтать. Есть и другая, менее распространённая версия: «дзяпа» или «дзяпка» в некоторых говорах — это задира, забияка, тот, кто «дзяпается» (цепляется, пристаёт). Оба значения не противоречат друг другу: и болтун, и задира — люди с заметным, неспокойным характером.

Фамилия образована по типичной для восточнославянских земель модели: основа + суффикс -к- + окончание -о. Суффикс -к- в белорусских и украинских фамилиях часто выполнял уменьшительную или прозвищную функцию, а окончание -о характерно для украинской ономастики (сравните: Шевченко, Коваленко, Дзяпко). В русском языке фамилии на -ко обычно не склоняются, но в украинской традиции склоняются как существительные среднего рода.

Интересно, что у фамилии Дзяпко нет «двойников» в виде Дзяпков или Дзяпкин, которые могли бы возникнуть при адаптации на великорусской почве. Это говорит о том, что фамилия почти не мигрировала за пределы своего первоначального региона и сохранила исходную форму. Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, происходят из крестьянской или мещанской среды западных губерний Российской империи, где прозвища, данные по поведению, были обычным делом. Никаких дворянских родов с такой фамилией история не знает — это чисто народное именование, закрепившееся в документах XIX века.