Фамилия Дзюнько звучит скорее по-украински или по-польски, чем по-великорусски. Её выдает суффикс -ко, который в украинской ономастике выполняет ту же роль уменьшительности, что и русские суффиксы -ка, -ок. В украинском языке этот суффикс чрезвычайно продуктивен: Дзюнько — это буквально «маленький Дзунь» или «сын Дзуня». Ударение, скорее всего, падает на последний слог: Дзюнько́.

Корень фамилии — Дзунь- — более загадочен. Самое прямое объяснение лежит на поверхности: украинское слово «дзюнька» (или «дзунька») в некоторых говорах означает «игрушка», «безделушка», а иногда — «небольшая стеклянная посудина». Прозвище Дзюнько могли дать человеку невысокого роста, щуплому, либо, наоборот, любителю побрякушек, человеку, которого в шутку называли «мелкой сошкой». Впрочем, есть и вторая, более редкая версия: в западных диалектах «дзунькати» означает «звенеть», «бренчать». Тогда прозвище могло закрепиться за музыкантом или просто за говорливым, «звонким» человеком.

Не стоит сбрасывать со счетов и польский след. В польском языке существует фамилия Dzuńko, и её основа может восходить к старому польскому слову «dzuń» — так называли человека, который неуклюже или громко падает, шлёпается. В этом случае прозвище было бы насмешливым — «шлёпа», «увалень». Какая из версий верна, без глубокого диалектного исследования сказать трудно, но связь с украинским «дзюнька» (игрушка) выглядит самой логичной и распространённой.

Географически фамилия Дзюнько встречается в основном на западе Украины — в Тернопольской, Львовской, Ивано-Франковской областях, а также в приграничных районах Польши. Это говорит о том, что носители фамилии — потомки крестьян или ремесленников из Галиции или Волыни. Фамилия не дворянская, не книжная — она родилась в живой речи, в деревенской среде, где прозвище давали по внешности или характеру.

Таким образом, Дзюнько — типичная украинская фамилия на -ко, образованная от прозвища, которое, скорее всего, описывало внешность (малорослый) или привычку (игрушечный, несерьёзный). В ней нет сложной этимологии, но есть живой отпечаток быта и языка Западной Украины.