Фамилия Эфеудиев — редкий случай в русском ономастиконе, и её разговор стоит начать с самого корня. Основа «Эфеуди» явно не славянская, а тюркская или кавказская, и указывает на географическое или этническое происхождение предка. Скорее всего, в основе лежит топоним или этноним — например, название села, аула или местности, где жил родоночальник. Похожие по звучанию названия встречаются в Дагестане и Чечне, где суффикс «-уди» характерен для некоторых местных фамилий и топонимов (вспомните, например, фамилию Эфендиев, но здесь иная форма).

Суффикс «-ев» в фамилии — русский патронимический, стандартный для оформления фамилий у народов Северного Кавказа, принявших русскую модель. То есть фамилию образовали от прозвища или имени Эфеуди (возможно, от арабского или тюркского «эфенди» — господин, учитель, но с местным огласованием), добавив русское окончание. Важно, что это не просто калька, а адаптация: носитель фамилии — потомок человека, которого звали Эфеуди, и который, вероятно, был уважаемым человеком в своей общине.

Географически фамилия Эфеудиев привязана к Северному Кавказу, особенно к Дагестану и Чечне, где встречаются однокоренные фамилии (например, Эфендиевы, Эфесдиевы). В дореволюционных записях она могла фиксироваться в разных вариантах написания, так как русские чиновники записывали местные имена на слух. Сословно предки могли быть как из духовенства (от «эфенди» — священнослужитель), так и из крестьян-общинников, взявших фамилию по имени деда.

Искать точное значение корня «Эфеуди» без полевых данных сложно, но логично предположить, что это местная форма от арабского «афанди» (господин), распространённого у тюркских и кавказских народов. В любом случае, фамилия Эфеудиев — маркер кавказского происхождения, и её носители, скорее всего, ведут род из горных аулов, где имя предка стало родовым знаком.