Фамилия Экимашев — редкий случай, когда в основе лежит не полное каноническое имя, а его обиходная, сокращённая форма. Корень здесь — Экимаш, производное от крестильного имени Иоаким (в русском просторечии — Яким, Аким). Чередование «Я» на «Э» в начале слова — характерная черта южнорусских и украинских говоров, где «экали»: вместо «Яким» говорили «Эким». Суффикс -аш в именах (Экимаш, Тимаш, Селиваш) выполнял ту же роль, что и более привычный -ка: он делал имя коротким, «домашним», пригодным для повседневного общения в крестьянской среде.

Фамилия образована по стандартной патронимической модели: сын Экимаша стал Экимашевым. Суффикс -ев, а не -ов, стоит после шипящего «ш» — это чисто грамматическое правило, не несущее дополнительного смысла. Таким образом, прямой ответ на вопрос «кем были предки?» — они были потомками человека по имени Экимаш (в миру — Иоакима).

Географически фамилия тяготеет к югу России. Наибольшая концентрация носителей исторически фиксируется в Курской, Белгородской и Воронежской областях, а также в сопредельных районах Украины (Сумская, Харьковская области). Это зона, где диалектное «эканье» было нормой, а имя Аким (Яким) было чрезвычайно популярно. Фамилия почти не встречается на севере и в Сибири — там закрепились формы Якимашев или просто Акимов.

С точки зрения социального происхождения, Экимашевы — почти наверняка потомки крестьян или однодворцев. Однодворцы — особое сословие, занимавшее промежуточное положение между крестьянами и мелкими помещиками, — было массово распространено именно в тех чернозёмных губерниях, где фамилия встречается чаще всего. Фамилия не дворянская: в «Бархатной книге» и других родословных сборниках она не значится, что подтверждает её «низовое» происхождение.

Интересная деталь: написание через «Э» — не орфографическая ошибка, а сознательная фиксация звучания. В метрических книгах XVIII–XIX веков одну и ту же семью могли записать и как «Якимашев», и как «Экимашев», в зависимости от грамотности писаря и его диалектной принадлежности. Со временем вариант с «Э» закрепился в документах, став отличительным признаком рода. Поэтому, если вы встречаете фамилию Экимашев, можно с высокой долей уверенности говорить, что корни семьи — в южнорусском черноземье, а предок носил просторечное имя Экимаш, то есть Иоаким.