Фамилия Екзаров — один из тех случаев, когда бросается в глаза необычная основа. В русских фамилиях редко встречается корень «екзар-», и это сразу указывает на её нерусское, скорее всего, церковное или греческое происхождение.

Слово «экзарх» (греч. ἔξαρχος — «начальник», «предводитель») в православной традиции означает главу отдельной церковной области или патриаршего наместника. В Российской империи существовал, например, Экзарх Грузии — глава Грузинского экзархата. Фамилия Екзаров, скорее всего, образована от этого титула или прозвища. Её могли дать либо потомкам человека, носившего высокий церковный сан, либо, что вероятнее, самому священнослужителю или его детям. Начальное «Е» вместо «Э» — типичная народная или старая орфографическая адаптация: в дореволюционных текстах греческие слова часто передавали через «е» (Евангелие, Епархия).

Суффикс «-ов» указывает на стандартную русскую модель образования отчества или прозвища: «чей?» — Екзаров, то есть сын или потомок Екзара (Екзаха). Сама основа могла закрепиться как мирское имя или прозвище в среде духовенства. В крестьянской среде такая фамилия почти не встречалась — слишком специфический корень, связанный с церковной иерархией. Носители Екзаровых, скорее всего, происходили из семей причетников, дьячков или священников, где знание греческих титулов было делом обычным.

Встречается фамилия редко, географически тяготеет к южным и центральным губерниям Российской империи, где было сильно греческое влияние или крупные церковные центры. Однокоренные варианты — Екзархов, Экзархов — встречаются ещё реже и указывают на ту же основу. Если ваш предок носил фамилию Екзаров, с большой вероятностью он был связан с церковной службой, возможно, на достаточно высоком уровне, или его прозвали так за властный, «начальственный» нрав.