Фамилия Ёлген — редкая, и её происхождение почти наверняка связано с тюркским языковым миром. В русском языке нет корня «ёлг-», поэтому сразу отбрасываем славянские версии. Самое прямое объяснение лежит на поверхности: в ряде тюркских языков (татарском, башкирском, казахском) слово «үлгән» или «өлген» означает «умерший», «покойник». Такое прозвище мог получить человек, родившийся в трудный для семьи период — например, после смерти предыдущего ребенка или во время эпидемии. В традиции многих народов имя-оберег, отталкивающее злых духов, давали намеренно «плохое», чтобы смерть обошла дом стороной. Так имя «Ёлген» становилось защитным талисманом.

Словообразовательная модель в русской записи проста: основа «ёлген» без суффиксов, то есть фамилия перешла в документах в неизменном виде, как зафиксировали при переписи. Обычно такие фамилии (без -ов/-ев, -ин) встречаются у татар, башкир, чувашей, а также у народов Кавказа. В русских списках фамилия Ёлген могла появиться в конце XIX — начале XX века, когда крестьянам из национальных окраин массово выдавали паспорта. Буква «ё» в начале — результат адаптации: тюркское «ү» или «ө» на слух воспринималось как «ё» или «е».

Интересная деталь: в некоторых тюркских языках есть созвучное слово «елген» со значением «выросший», «взрослый» (от «ел» — год). Но эта версия слабее: огласовка «ё» твёрже указывает на «өл» (умирать). Если ваш предок был из поволжских татар или башкир, то прозвище Ёлген почти наверняка было охранительным именем. Если же корни ведут в Сибирь или на Алтай, стоит проверить местные диалекты — там возможны иные смыслы.

География фамилии крайне узкая. В современных базах данных Ёлген встречается единично, в основном в Башкортостане и Татарстане. Носители, скорее всего, происходят из одной локальной группы, где прозвище закрепилось как родовое. Учитывая редкость, можно предположить, что фамилия не меняла форму и не «обрусела» — её не переделывали в Ёлгенов или Елгенов, оставив как есть. Это подчёркивает её недавнее появление в русском документообороте и сильную связь с родным языком.