Фамилия Елгешин — один из тех случаев, когда внешне простой корень скрывает неочевидную географию. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Елгеша — это, скорее всего, не полное имя, а ласкательная или обиходная форма от какого-то другого личного имени. Чтобы понять, от какого, надо посмотреть, где фамилия встречается чаще всего.

Основной ареал фамилии Елгешин — Поволжье, особенно Чувашия и Татарстан. Это сразу подсказывает вероятную основу: тюркское имя Елгеш или Йылгыш. В тюркских языках корень «йыл» или «ел» может означать «год», «время», а в составе имени нередко передаёт пожелание долгой жизни или связи с природным циклом. Например, имя Елгеш (Yılgeş) у чувашей и татар могло быть образовано от «ел» (ветер, страна) с уменьшительным суффиксом -еш, то есть «ветерок» или «попутный ветер». Впрочем, вторая версия менее вероятна: в ономастике чаще встречаются имена с пожелательной семантикой, чем с прозрачно-природной.

Менее распространённая, но возможная гипотеза — связь с русским диалектным словом «елга» (ёлка, ель), но тогда основа была бы Елгин, а не Елгешин. Суффикс -еш- здесь чужероден для русского словообразования, что опять возвращает нас к тюркскому источнику. Таким образом, фамилия Елгешин — это русифицированная форма тюркского имени, адаптированная через суффикс принадлежности. Предок носителя фамилии, скорее всего, был крещёным чувашом или татарином, которому при переписи записали имя Елгеш, а его сыновья стали Елгешиными.

Встречаемость фамилии невысокая, в основном в Чувашии и соседних регионах. В дореволюционных метрических книгах Елгешины фиксировались как государственные крестьяне, в XIX веке — уже как мещане и купцы в некоторых уездах Казанской губернии. Единого дворянского рода с такой фамилией не известно.