Фамилия Елдешин образована от прозвища Елдеша, которое в свою очередь восходит к слову «елдыга» или «елдыжить». В русских говорах, особенно волжских и сибирских, «елдыга» — это непоседливый, суетливый человек, тот, кто постоянно куда-то спешит, ёрзает или, напротив, пристаёт с просьбами, докучает. Глагол «елдыжить» означал «беспокоить, надоедать, клянчить». Таким образом, прозвище Елдеша мог получить либо слишком подвижный и беспокойный ребёнок, либо взрослый, который всех донимал своими требованиями. Форма на -ша характерна для русских диалектов Поволжья и севера: с тем же суффиксом образованы прозвища Вандыша, Малыша, Кудеша.

Модель фамилии — притяжательная на -ин, что указывает на происхождение от отца: Елдеша → сын Елдешин, то есть «маленький Елдеша» или потомок Елдеши. Суффикс -ин типичен для фамилий, образованных от основ на -а/-я. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто давались по церковным именам, здесь явно бытовое, уличное прозвище.

Фамилия редкая и имеет чёткую географическую привязку. По данным открытых источников и переписей, основное гнездо Елдешиных — это Вятка (Кировская область) и прилегающие районы Удмуртии. В частности, фамилия встречается в старых списках жителей Сарапульского уезда. Вятские говоры сохранили слово «елдыжить» в значении «суетиться, делать что-то неловко», что подтверждает местное происхождение прозвища. В других регионах фамилия почти не встречается.

Иногда фамилию пытаются связать с тюркскими корнями, например, с татарским «илдеш» (земляк, соотечественник). Но это маловероятно: фонетически «Елдешин» не укладывается в татарскую модель — там ожидалось бы окончание -ов/-ев или -ский, а суффикс -ин для татарских фамилий нетипичен. К тому же на Вятке тюркское влияние было слабее, чем, скажем, в Казанском крае. Версия с диалектным русским словом «елдыга» выглядит убедительнее и объясняет и форму, и ареал.

Среди носителей фамилии не было знаменитых дворянских родов или исторических деятелей — это фамилия крестьянская, возможно, однодворческая. В дореволюционных метрических книгах Елдешины записаны как государственные крестьяне, что типично для Вятской губернии. Сегодня фамилия остаётся малочисленной, и её обладатели в основном живут в тех же местах, где прозвище дали предку несколько веков назад.