Фамилия Елгешина — женская форма, мужской вариант — Елгешин. В её основе лежит имя Елгеша, которое ономасты выводят из нескольких источников. Самая вероятная версия: Елгеша — это народная, уменьшительная форма библейского имени Елисей. С древнееврейского оно переводится как «Богом спасаемый» — такой смысл могли вкладывать в имя для ребёнка, которого хотели уберечь от бед.

Но есть и другая гипотеза. Имя Елгеша могло сократиться от греческих крестильных имён — Елеферий (означает «свободный») или Елистрат («добрый воин»). В бытовой речи длинные и непривычные для русского уха имена часто усекали до простых и звонких форм: Елисей превращался в Елешу, а Елеферий — в Елгешу. Какая из версий верна для конкретной семьи, сегодня сказать трудно: обе возможны, но первая, от Елисея, встречается в источниках чаще.

Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: буквально «чей?» — «сын Елгеши». Такая модель типична для северных и центральных областей России, где фамилии на -ин распространены так же широко, как на -ов.

Сословная принадлежность основателя рода не документирована, но по косвенным данным — по отсутствию в старых дворянских родословных книгах — можно предположить, что Елгешины происходили из крестьянской или рабочей среды. Фамилия недворянская, а значит, её носители в большинстве своём были людьми простого звания, получившими родовое прозвание по имени отца или деда.