Фамилия Элибегян — яркий пример армянской модели фамилии, образованной с помощью патронимического суффикса -ян (варианты -янц, -енц, -онц). В армянской традиции этот суффикс, как и русские -ов/-ев, указывает на происхождение от предка: буквально «из рода такого-то» или «принадлежащий к…». В данном случае основа — мужское личное имя или прозвище Элибег.

Корень фамилии составной. Первая часть — «Эли» — может восходить к арабскому или персидскому «али» (высокий, возвышенный), но в армянской среде, особенно в Западной Армении и регионах, граничивших с Персидской империей, «Эли» нередко было сокращением от «Элия» (Илья) или вариантом имени «Елисей». Вторая часть — «бег» — тюркский титул, означающий «господин», «князь», «вождь». В Османской империи и Персии бегами называли военачальников, землевладельцев, иногда просто уважаемых людей. Таким образом, имя Элибег (или прозвище) могло означать «господин Эли» либо «князь Илья» — сочетание христианского имени и тюркского титула, что типично для армян, живших в полиэтничной среде Восточной Анатолии и Закавказья.

Фамилия Элибегян характерна для армян, происходящих из региона Вана, Муша или Эрзурума (историческая Западная Армения, ныне территория Турции). После геноцида 1915 года носители фамилии расселились по всему миру, но значительная часть осела в Армении, России, США и Ливане. Интересно, что в армянской ономастике встречаются параллельные формы: Элибекян, Элибегов, а также вариант с усечением суффикса — Элибегянц (более старая форма). Последний указывает на то, что фамилия могла возникнуть ещё до массового закрепления -ян в качестве стандартного патронимического форманта в XIX веке.

В отличие от многих русских фамилий, которые закреплялись за крестьянами после отмены крепостного права, армянские фамилии на -ян часто несли указание на происхождение из конкретного рода, а не на сословие. Элибегяны могли быть как мелкими землевладельцами (особенно если основатель рода действительно носил титул «бег»), так и ремесленниками или торговцами — в армянской среде титул «бег» иногда присваивался за заслуги и не обязательно означал аристократическое происхождение. Социальный статус конкретной ветви без генеалогического исследования определить сложно, но само наличие тюркского титула в основе говорит о том, что предок носителя фамилии был заметным человеком в своей общине.