Фамилия Енгашева — женская форма фамилии Енгашев. В основе её лежит мужское личное имя или прозвище Енгаш, а сама фамилия образована по самой распространённой русской модели с суффиксом -ев (притяжательное значение: «чей?» — «из рода Енгаша»). Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий или шипящий согласный (в данном случае на -ш).

Ключевой вопрос — происхождение самого имени Енгаш. Здесь есть две основные версии, и первая выглядит заметно убедительнее.

Самая вероятная версия — тюркская. Имя Енгаш (или Янгаш) восходит к тюркскому корню «янгы» / «яны» — «новый». В татарском, башкирском и других тюркских языках это имя означало «новорождённый», «новый человек» (как русское имя Новожил или болгарское Новко). Такие имена давали младенцу, чтобы подчеркнуть его появление в семье, или же как оберег — символическое начало новой жизни. Форма с начальным «Е» вместо «Я» — диалектная или результат адаптации в русской среде (ср. Елабуга vs Ялабуга). Фамилия Енгашев особенно характерна для татар, башкир и других народов Поволжья и Приуралья, а также для тех русских семей, которые имели тюркские корни или жили в смешанных регионах.

Вторая, менее распространённая версия, выводит Енгаша из калмыцкого или монгольского «енг» — «бок, сторона». В этом случае прозвище Енгаш могли дать человеку, который жил на отшибе, с краю селения, или же тому, кто ходил криво, боком. Эта гипотеза слабее: подобные прозвища на -аш в тюркских языках обычно образуются от глаголов или прилагательных, а не от существительных, и география фамилии (преимущественно волго-уральский регион) больше говорит в пользу первой версии.

Таким образом, предок современной носительницы фамилии Енгашева, скорее всего, жил в среде, где были сильны тюркские языки, и носил имя Енгаш — «новенький», «младший». Фамилия фиксирует его как родоначальника, и в этом смысле она — типичный пример того, как русская словообразовательная модель «присвоила» себе иноязычное личное имя.